斐波那契数列与黄金分割的关系

　　斐波那契数列与黄金分割的关系

　　斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

　　与黄金分割关系

　　有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

　　1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666.。。，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…。

　　越到后面，这些比值越接近黄金比。

　　证明

　　a［n+2］=a［n+1］+a［n］。两边同时除以a［n+1］得到：a［n+2］/a［n+1］=1+a［n］/a［n+1］。若a［n+1］/a［n］的极限存在，设其极限为x，则lim［n-》；；∞］（a［n+2］/a［n+1］）=lim［n-》；；∞］（a［n+1］/a［n］）=x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以极限是黄金分割比。